☛ Un point fixe

Soit \(f\)  une fonction définie, continue sur \([0\ ;+\infty[\)  et à valeurs dans   \([0 \ ;+\infty[\) .
On suppose que \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=\ell\) , avec \(\ell<1\) .
Démontrer que \(f\)  admet un point fixe.

On considère la fonction \(g\)  définie sur \(\mathbb R\)  par \(g(x)=f(x)-x\) .

Résoudre \(f(x)=x\)  est équivalent à résoudre \(g(x)=0\) .

\(g(0)=f(0)\geqslant 0\) .

On sait que \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=\ell<1\)  donc, pour \(x\)  suffisamment grand, \(\dfrac{f(x)}{x}\leqslant\dfrac {\ell+1}{2}<1\) .

On a alors \(f(x)-x\leqslant\dfrac {\ell+1}{2}x-x\)  soit \(g(x)\leqslant\dfrac{\ell-1}{2}x\) .

Comme \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{\ell-1}{2}x=-\infty\)  (car \(\ell-1<0\) ), alors par comparaison \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}g(x)=-\infty\) .

\(g\)  est continue sur \(\mathbb R\) . \(g(0)\geqslant0\)  et   \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}g(x)=-\infty\) . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(g(x)=0\)  admet une solution.